Fine定理的矩阵推广

1947年Nathan Fine给出了一个漂亮的乘积公式，用于计算在$0 \leq m \leq n$范围内不被$p$整除的二项式系数$\binom{n}{m}$的个数。我们给出一个矩阵乘积推广Fine公式，同时计数具有$p$-adic赋值$\alpha$的二项式系数（对每个$\alpha \geq 0$）。对于每个$n$，此信息自然编码于多项式生成函数中，且这些多项式的序列在Allouche和Shallit意义下是$p$-正则的。我们还给出了对多项式系数的进一步推广。