多重 SLE 的流体力学极限

近来 del Monaco 与 Schlei{\"s}inger 提出了一个有趣的问题：能否取多重 Schramm--Loewner 演化（SLE）在缝数 $N$ 趋于无穷时的极限。当 $N$ 条缝从实直线 ${\mathbb{R}}$ 上的点同时长出并在上半平面 ${\mathbb{H}}$ 内趋于无穷时，在 $N \to \infty$ 极限下导出了描述共形映射 $g_t(z)$ 时间演化的常微分方程，其与无粘极限下的复 Burgers 方程耦合。众所周知，复 Burgers 方程支配随机矩阵论中定义在 ${\mathbb{R}}$ 上的 Dyson 模型的流体力学极限，且当所有粒子始于原点时，该 Burgers 方程的解由遵循 Wigner 半圆律含时版本的测度的 Stieltjes 变换给出。本文中，我们首先研究所有缝始于原点时的多重 SLE 流体力学极限。我们表明 Wigner 半圆律的含时版本决定了该流体力学极限下 SLE 包 $K_t \subset {\mathbb{H}} \cup {\mathbb{R}}$ 的时间演化。接下来我们考虑一半缝始于 $a>0$ 而另一半缝始于 $-a < 0$ 的情形，并确定了该流体力学极限下的多重 SLE。在报告这些精确解后，我们将讨论多重 SLE 及其包 $K_t$ 在流体力学极限下的普适长期行为。