关于 ${\rm{GL}}(4)\times {\rm{GL}}(1)$ 扭转 $L$ 函数的混合界限

设 $P,M$ 为两个互素的素数。设 $\Pi$ 为 ${\rm{GL}}(4)$ 上积性马asse 形式, 其级数为 $P$。设 $\chi$ 为模 $M$ 上的原始狄利克雷字符。本文研究 ${\rm{GL}}(4)\times {\rm{GL}}(1)$ 型 $L(s,\Pi\otimes\chi)$ 在层数和导数两个维度上的混合亚谷值问题。其中, 当 $M^{1/5}<P<M^{2/5}$ 时, 我们证明了混合亚谷值界限。