由弦图标记的 Hurwitz 数与矩阵积分

我们将考虑来自独立复 Ginibre 系综的复随机矩阵的乘积。该乘积包含复矩阵 $Z_i, Z_i^\dagger, \, i = 1, \ldots, n$ 以及 $2n$ 个源（复矩阵 $C_i$ 和 $C_i^*$）。任一此类乘积都可由一个弦图表示，该图编码了乘积中矩阵的顺序。我们引入弦图的欧拉示性数 E$^*$，并证明该乘积的谱相关函数生成 Hurwitz 数，这些数枚举了亏格为 $g^*$ 的黎曼曲面的不等价分支覆盖。源的作用是在临界点处生成分支轮廓，这些临界点被赋予基于弦图以标准方式粘合 $2n$ 边形所得到的底曲面上所绘图形的顶点。Klein 曲面的 Hurwitz 数也可通过对模型稍作修改得到。具体而言，我们考虑 $2n+1$ 边形，并将额外的矩阵 $Z_{2n+1}$ 与“Mobius” tau 函数配对。因此，所提出的由弦图标记的矩阵模型可生成任意给定底曲面欧拉示性数与任意给定分歧轮廓集合的 Hurwitz 数。