如何在次线性时间内解决蛋糕分割问题

在本文中，我们展示了在次线性时间内解决蛋糕分割问题的算法。具体而言，我们在 o(n) 时间内为 o(n) 个玩家预分配（简单的）公平份额，并将对其他玩家的损害降至最低。目前所有已知算法都需要 Ω(n) 时间，即使只为单个玩家分配一个份额也是如此，而且由于许多未被询问的玩家可能对剩余蛋糕不满意，因此将这些算法修改为 o(n) 时间运行并非易事。为了应对这一问题，我们首先提供了一个在次线性时间内解决蛋糕分割问题的框架。一般来说，在次线性时间内解决问题需要使用近似。然而，在我们的框架中，我们引入了"εn-受害者"的概念，即 εn 个玩家（受害者）可能无法获得公平份额，其中 0<ε≤1 为任意常数。在我们的框架中，算法包含以下两个部分：第一部分（预分配）在 o(n) 时间内为 r<n 个玩家分配公平份额。第二部分（补全）在多项式时间内为剩余的 n−r 个玩家分配公平份额，但排除 εn 个受害者。第一部分中的 r 个玩家有两种变体。具体而言，它们是否可以被指定。然后我们将在此框架下呈现算法。特别地，我们提出了一种 O(r/ε) 时间算法，适用于 r≤εn/127 个未指定玩家和 εn 个受害者，以及一种 O~(r²/ε) 时间算法，适用于 r≤εe^(√ln n /7) 个指定玩家，且 ε≤1/e，同时有 εn 个受害者。