形式微分同胚的Hopf代数与流形上的数值积分
数值分析
2011-06-07 v3 量子代数
摘要
B-级数起源于John Butcher在20世纪60年代的工作，作为分析微分方程数值积分(特别是龙格-库塔方法)的工具。近年来，已建立了与微扰量子场论中重整化理论的联系。经典龙格-库塔方法的代数结构由Connes-Kreimer Hopf代数描述。Lie-Butcher理论是B-级数的推广，旨在研究流形上演化微分方程的Lie群积分器。Lie群积分器基于流形上的一般Lie群作用，而经典龙格-库塔积分器在此框架中表现为R^n通过平移作用于自身的特例。Lie-Butcher理论结合了R^n上的经典B-级数与流形上的Lie级数。其底层的Hopf代数结合了Connes-Kreimer Hopf代数与自由Lie代数的shuffle Hopf代数。我们面向一般数学读者，介绍Hopf代数结构及其与数值分析中结构的关系。特别地，我们探讨了Lie级数、时间相关Lie级数和流形上微分同胚的Lie-Butcher级数之间的密切联系。讨论了Euler和Dynkin幂等元在数值分析中的作用。引入了Faa di Bruno双代数的非交换版本，并探讨了与非交换Bell多项式的关系。
引用
@article{arxiv.0905.0087,
title = {Hopf algebras of formal diffeomorphisms and numerical integration on manifolds},
author = {Alexander Lundervold and Hans Munthe-Kaas},
journal= {arXiv preprint arXiv:0905.0087},
year = {2011}
}
备注
29 pages, final version, to appear in the proceedings of the 2007 MPIM conference "Combinatorics and Physics"