余环的同伦 Morita 理论

余环 (A,C) 由 A-双模的幺半范畴中的一个代数 A 和一个余代数 C 组成。余环及其余模自然出现在 Hopf-Galois 扩张和下降理论的研究中，也出现在 Hopf 代数胚的研究中。在本文中，我们探讨了对称幺半模型范畴 V 中的两个余环何时是同伦 Morita 等价的，即它们各自的余模范畴何时是 Quillen 等价的。平凡余环 (A,A) 上的余模范畴同构于 A-模范畴，因此上述问题涵盖了两个代数何时是同伦 Morita 等价的问题。我们在本文的第一部分讨论了这一特殊情况，扩展了先前已知的结果。为解决一般性问题，我们引入了“辫双模”的概念，并表明 A-Mod 与 B-Mod 之间提升为 (A,C)-Comod 与 (B,D)-Comod 之间伴随的伴随对应恰好是 (A,C) 与 (B,D) 之间的辫双模。随后，我们给出了基于同伦下降的条件，用于判断辫双模何时诱导 Quillen 等价。特别是，我们获得了余环态射何时诱导 Quillen 等价的条件，从而提供了 Hovey 和 Strickland 关于 Hopf 代数胚 Morita 等价结果的同伦推广。为了阐明一般理论，我们考察了交换环上链复范畴中余环的同伦 Morita 理论。