格凸集的同测性与直和分解

如果 $\mathbb{R}^d$ 中的两个集合具有相同的协方差图，则称它们是同测的，其中 $\mathbb{R}^d$ 的有限子集 $K$ 的协方差图是将每个 $u \in \mathbb{R}^d$ 映射到 $K \cap (K+u)$ 基数的函数。理解同测集的结构对许多数学领域及其应用至关重要。如果两个集合是同测的，但在平移和点反射下不重合，则称它们为非平凡同测的。我们研究了格凸集的非平凡同测对，其中如果集合 $K$ 是格 $\mathbb{M} \subseteq \mathbb{R}^d$ 与 $\mathbb{R}^d$ 的凸子集的交集，则称 $K$ 关于格 $\mathbb{M}$ 是格凸的。这一研究方向由 Daurat、G\'erard 和 Nivat 于 2005 年发起，Gardner、Gronchi 和 Zong 也独立发起。迄今为止已知的所有非平凡同测格凸集对本质上都可以写为直和 $S \oplus T$ 和 $S \oplus (-T)$ 的形式，其中 $T$ 是格凸的，底层格 $\mathbb{M}$ 是 $T$ 与某个子格 $\mathbb{L}$ 的直和，而 $S$ 是 $\mathbb{L}$ 的子集。我们假设这种特定形式研究非平凡同测格凸集对，并建立了 $S \oplus T$ 格凸性的必要条件和充分条件。这使得我们能够在上述假设下明确描述二维中的所有非平凡同测对，并为每个 $d \ge 3$ 构造格凸集的非平凡同测对示例。