论数格的链接

在本文中，我们研究在数格背景下已被证明在拓扑网络理论中有用的思想。数格 $L_S$ 是在有限列集 $S$ 上、基于 $\mathbb{Q}$ 的若干行向量通过整系数线性组合生成的一组行向量集合。广义数格 $K_S$ 是一个数格 $L_S$ 与一个向量空间 $V_S$ 的和，且二者仅有零向量公共。广义数格 $K_S$ 的对偶 $K^d_S$ 是与 $K_S$ 中向量的点积均为整数的所有向量组成的集合，它也是另一个广义数格。我们考虑广义数格 $K_{SP},K_{P}$（分别视为列集 $S\cup P, P$ 上的行向量集合，其中 $S,P$ 不相交）之间的一种链接运算（‘匹配复合’），定义为 $K_{SP}\leftrightarrow K_{P}\equiv \{f_S:((f_S,g_P)\in K_{SP}, g_P \in K_{P}\}$。我们表明，该运算连同收缩与限制，以及结果——隐式反演定理（给出等式 $K_{SP}\leftrightarrow (K_{SP}\leftrightarrow K_S)= K_S$ 成立的简单条件）与隐式对偶定理（$(K_{SP}\leftrightarrow K_{P})^d= K_{SP}^d\leftrightarrow K_{P}^d$）——在提出有关数格的问题及其解法方面既相关又有用。利用隐式对偶定理，我们给出了由旧的自对偶格构造新自对偶格的简单方法。我们还给出了如下问题的新的高效算法。给定 $V_{SP},K_P$，使得 $V_{SP}\leftrightarrow (V_{SP}\leftrightarrow K_P)= K_P$，其中 $V_{SP}$ 是具有全单模基矩阵的向量空间，由 $K_P$ 数格部分的约化基构造 $V_{SP}\leftrightarrow K_P, K_P^d, (V_{SP}\leftrightarrow K_P)^d$ 的数格部分的约化基。