全息与Koszul对偶：以$M2$膜为例

Si Li与作者曾在文中提出，在某些情况下，AdS/CFT对应可以用Koszul对偶（Koszul duality）的代数操作来表述。本文针对$\Omega$-背景下的$M2$膜显式验证了这一建议。我们证明了在大的$K$下，一堆$K$个$M2$膜上的超对称算子代数，与$\Omega$-背景下11维超引力的超对称算子代数（使用arXiv:1610.04144中给出的$\Omega$-背景下的超引力表述）是Koszul对偶的。这里使用的超引力的扭曲形式可以在微扰论中所有阶进行量子化。我们发现Koszul对偶结果在引力理论和$M2$膜理论中的微扰论所有阶均成立。（然而，存在某种耦合常数在两边的非线性对应，我无法显式确定）。还证明了当$K \to \infty$时，$K$个$M2$膜上的算子代数是一个量子双圈代数（杨代数的双变量类比）。该代数也是引力理论算子代数的Koszul对偶。给出了该代数的一个显式表示，并证明该代数是其经典极限的唯一量子化。还给出了一些对卡拉比-丘三维簇枚举几何的推测性应用。