HNS：一种求解时间分数阶偏微分方程的高效 Hermite 神经求解器
机器学习
2023-10-10 v1 人工智能
数值分析
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摘要
神经网络求解器通过利用深度学习技术来解决时间分数阶偏微分方程，是一种创新且有前景的方法。L1 插值逼近作为神经网络求解器中处理时间分数阶导数的标准方法。然而，我们发现基于 L1 插值逼近的神经网络求解器无法充分利用神经网络的优势，且这些模型的精度受限于插值误差。本文提出用于求解时间分数阶偏微分方程的高精度 Hermite 神经求解器（HNS）。具体而言，我们首先利用 Hermite 插值技术构造分数阶导数的高阶显式逼近格式，并严格分析其逼近精度。随后，考虑到深度神经网络的无穷可微性质，我们将高阶 Hermite 插值显式逼近格式与深度神经网络相结合，提出 HNS。实验结果表明，在前向问题、逆问题以及高维场景中，HNS 均比基于 L1 格式的方法取得更高精度。这表明，与现有基于 L1 的方法相比，HNS 显著提升了精度与灵活性，并克服了显式有限差分逼近方法常受限于函数值插值的弊端。因此，HNS 并非数值计算方法与神经网络的简单组合，而是实现了二者优势的互补与相互促进。数据与代码见 \url{https://github.com/hsbhc/HNS}。
引用
@article{arxiv.2310.04789,
title = {HNS: An Efficient Hermite Neural Solver for Solving Time-Fractional Partial Differential Equations},
author = {Jie Hou and Zhiying Ma and Shihui Ying and Ying Li},
journal= {arXiv preprint arXiv:2310.04789},
year = {2023}
}