基于谱分析的参数化PDE混合迭代神经求解器

基于深度学习的混合迭代方法（DL-HIM）已成为设计快速神经求解器以处理大规模稀疏线性系统的有前景方法。DL-HIM结合了简单迭代方法的平滑效应与神经网络的谱偏差，使其能够有效消除高频和低频误差分量。然而，如果简单迭代方法不能提供有效的平滑，其效率可能会降低，使神经网络难以学习中频和高频分量。本文首先从谱的角度对一般DL-HIM进行收敛性分析，得出在合理假设下，DL-HIM的收敛率与网格尺寸 $h$ 和物理参数 $\boldsymbol{\mu}$ 无关。为了满足这些假设，我们从特征值的角度设计了一个神经网络，专注于学习简单迭代方法难以消除的误差分量对应的特征值和特征向量。具体来说，特征值由一个元子网络学习，而特征向量则通过另一个元子网络提供的转换矩阵使用傅里叶模式来近似。由此产生的DL-HIM，即傅里叶神经求解器（FNS），可以通过设计一个确保神经网络补充阻尼雅可比迭代方法平滑效应的损失函数，在训练尺度的局部邻域内训练以实现与PDE参数和网格尺寸无关的收敛率。我们在五种参数化线性PDE上验证了FNS的性能。