神经算子与松弛方法在偏微分方程数值求解器中的融合
数值分析
2024-09-04 v2 机器学习
数值分析
摘要
神经网络存在谱偏差，难以表示函数的高频分量，而松弛方法能高效求解高频但会在中低频处停滞。我们利用这两种方法的弱点，将其协同结合，以开发大规模偏微分方程（PDEs）的快速数值求解器。具体而言，我们提出 HINTS，一种混合、迭代、数值且可迁移的求解器，通过将 Deep Operator Network（DeepONet）与标准松弛方法相集成，从而对广泛一类现有整体式求解器难以处理的 PDEs 实现并行效率与算法可扩展性。HINTS 利用 DeepONet 的谱偏差来平衡本征模态谱上的收敛行为，从而产生均匀的收敛速率，因此混合求解器整体表现出卓越性能。此外，HINTS 适用于大规模多维系统，对离散化、计算域和边界条件具有灵活性。
引用
@article{arxiv.2208.13273,
title = {Blending Neural Operators and Relaxation Methods in PDE Numerical Solvers},
author = {Enrui Zhang and Adar Kahana and Alena Kopaničáková and Eli Turkel and Rishikesh Ranade and Jay Pathak and George Em Karniadakis},
journal= {arXiv preprint arXiv:2208.13273},
year = {2024}
}
备注
Main text: 17 pages, 6 figures. Supplementary Information: 30 pages, 8 figures, 2 tables, 4 algorithms