面向非线性色散方程的混合迭代神经低正则性积分器

我们提出了HIN-LRI，这是一个混合框架，通过训练一个神经算子来修正经典数值求解器的结构化截断误差，从而增强该求解器。基础低正则性积分器为非线性色散偏微分方程提供了一致的一阶近似，而一个在低维潜流形上运行的轻量级神经网络则学习解析方法无法闭合的残差缺陷。对神经修正项的显式时间步长缩放确保其Lipschitz贡献保持为$\mathcal{O}(\tau)$，从而产生在步长上一致有界且独立于空间分辨率的Gronwall稳定性因子。该网络通过求解器在环目标进行端到端训练，该目标展开完整迭代并在Bourgain型范数中惩罚轨迹误差，使学习与多步求解器动力学对齐，而非孤立的单步目标。在给定假设下，全局误差满足$C(\varepsilon_{net}+\delta)\,\tau^\gamma\ln(1/\tau)$，其中$\varepsilon_{net}$衡量网络近似质量，$\delta$衡量训练不足。在三个具有粗糙数据的色散基准上的实验表明，HIN-LRI在准确性上优于解析积分器、分裂方法和神经偏微分方程代理模型，具有稳定的空间细化、有效的分布外迁移以及适度的在线开销。