Shamir 问题的命中时

对固定的 $r\geq 3$ 且 $n$ 被 $r$ 整除，令 ${\mathcal H}={\mathcal H}^r_{n,M}$ 为在 $V=\{1,\ldots ,n\}$ 上的随机 $M$ 边 $r$-图；即 ${\mathcal H}$ 从 ${\mathcal K}:={V \choose r}$（:=\{\mbox{r$-$V 的子集}\}）的 $M$ 子集中均匀选取。Shamir 问题（约 1980 年）大致询问：对怎样的 $M=M(n)$，${\mathcal H}$ 很可能包含一个完美匹配（即 $n/r$ 个不相交的 $r$-集）？2008 年 Johansson、Vu 与作者证明了当 $M>C_rn\log n$ 时此结论成立。更近地，作者证明了该结果的渐近正确版本：对固定的 $C> 1/r$ 与 $M> Cn\log n$，当 $n\rightarrow\infty$ 时 $P({\mathcal H} ~\mbox{包含完美匹配})\rightarrow 1$。本工作完成了在那篇近作中开始的一个证明，即决定性的“命中时”陈述：$\mbox{定理.}$ 若 $A_1, \ldots ~$ 是 ${\mathcal K}$ 的一个均匀排列，${\mathcal H}_t=\{A_1\dots A_t\}$，且 $$T=\min\{t:A_1\cup \cdots\cup A_t=V\},$$ 则当 $n\rightarrow\infty$ 时 $P({\mathcal H}_T ~\mbox{包含完美匹配})\rightarrow 1$。