通过完美匹配基进行快速哈密顿性检查

对于偶数整数 t \geq 2，匹配连通性矩阵 H_t 是一个行和列均由 t 个顶点上的完全图 K_t 的所有完美匹配标记的矩阵；如果 M_1\cup M_2 是一个哈密顿回路，则条目 H_t[M_1,M_2] 为 1，否则为 0。受哈密顿性问题计算研究的启发，我们提出了关于 H_t 结构的三个结果：首先，我们通过适当的因式分解证明 H_t 在 GF(2) 上的秩至多为 2^{t/2-1}，该分解明确提供了形成 H_t 基的匹配族 X_t。其次，我们展示了如何在这些基之间快速转换表示。第三，我们注意到匹配集 X_t 在 H_t 内诱导了置换矩阵。随后，我们利用该因式分解获得了一个时间为 1.888^n n^{O(1)} 的 Monte Carlo 算法，用于求解有向二分图中的哈密顿性问题。我们的算法还能以相同的时间界限统计有向二分图或无向图中模 2 的哈密顿回路数量。此外，我们利用第二个结果中的快速基变换算法，提出了一种 Monte Carlo 算法，该算法针对具有宽度至多为 pw 的路径分解的 n 顶点无向图，能在 (2+\sqrt{2})^{pw}n^{O(1)} 时间内判定哈密顿性。最后，我们利用第三个结果表明，对于任意 \epsilon >0，除非强指数时间假设 (Strong Exponential Time Hypothesis) 不成立，否则无法将该时间改进为 (2+\sqrt{2}-\epsilon)^{pw}n^{O(1)}；也就是说，针对此问题的更快算法将意味着 CNF-Sat 存在 (2-\epsilon)^n 时间算法这一突破性结果。