边集约束下的匹配与哈密顿圈

本文旨在扩展和推广Katona关于在特定约束下图中存在完美匹配或哈密顿圈的一些工作。这些约束的最一般形式是，我们给定图边集的一个族，并且不允许使用该族任何成员中的所有边。我们考虑使用图和集系统来表达此类约束的两种自然方式。对于第一种版本，我们询问正则二分图$G$和$H$的条件，使得$G$中存在一个完美匹配，其任意两条边不与$H$的两条边构成一个4-圈。在第二种版本中，我们询问完全图（或等价地，循环排列）中存在哈密顿圈的条件，该哈密顿圈具有性质：它没有给定长度的区间集合，其并集属于给定集族。例如，我们证明，具有性质“每个$n$-元集的循环排列都包含两个相邻点对”的最小$4$-元集族的大小介于$(1/9+o(1))n^2$和$(1/2-o(1))n^2$之间。我们还给出了该问题的一般版本以及其他自然特例的界。最后，我们提出了许多开放问题和进一步研究的方向。