优先连接模型中的完美匹配与哈密顿圈

在本文中，我们研究优先连接模型中完美匹配和哈密顿圈的存在性。在该模型中，顶点逐个加入图，每次创建新顶点时，它与$m$个随机顶点建立连接，这些顶点按与其当前度数成比例的概率被选中。（常数$m$是该模型唯一的参数。）我们证明若$m \ge 1{,}260$，则渐近几乎必然存在完美匹配。此外，我们证明若$m \ge 29{,}500$，则渐近几乎必然存在哈密顿圈。分析中的一个困难源于顶点仅与“较老”的顶点（即过程中较早创建的）建立连接。然而，主要障碍来自优先连接模型中的边不是独立生成的。有鉴于此，我们还考虑一个更简单的设定——有时称为均匀连接（uniform attachment）——其中顶点逐个添加，每个顶点以均匀随机且独立于所有其他选择的方式连接到$m$个较老顶点。我们首先研究均匀连接模型中完美匹配和哈密顿圈的存在性，然后将论证推广到优先连接版本。