分层矩阵的快速对称分解及其应用

我们提出了一种快速直接算法，用于计算满足弱容许性条件的对称正定分层矩阵的对称分解，即 $A = WW^T$。对于分层非对角低秩矩阵，对称分解的计算成本缩放为 $\mathcal{O}(n \log^2 n)$。一旦获得该分解，求逆、应用和行列式计算的成本缩放为 $\mathcal{O}(n \log n)$。特别是，当 $A$ 为协方差矩阵时，这使得近乎最优地生成相关随机变量成为可能。该对称分解算法依赖于两个关键要素。首先，我们提出了一种针对形如 $I+UKU^T$ 的单位矩阵低秩更新的新颖对称分解公式。如果扰动的秩足够小，该公式可在 $\mathcal{O}(n)$ 时间内计算。其次，将此公式与递归分治策略相结合，可获得具有分层结构矩阵的近乎线性复杂度的对称分解。我们展示了针对概率与统计（高斯过程）、插值（径向基函数）以及流体力学中布朗动力学计算（Rotne-Prager-Yamakawa 张量）相关矩阵的数值结果。