基于矩阵秩的计数哈密顿回路紧下界

对于偶数 $k$，匹配连通性矩阵 $\mathbf{M}_k$ 编码了 $k$ 个顶点上的完美匹配对中哪些构成单一圈。Cygan 等人（STOC 2013）证明了 $\mathbf{M}_k$ 在 $\mathbb{Z}_2$ 上的秩为 $\Theta(\sqrt 2^k)$，并由此给出了在路径宽度 $\mathsf{pw}$ 图上模 $2$ 计数哈密顿回路的 $O^*((2+\sqrt{2})^{\mathsf{pw}})$ 时间算法。同一作者基于强指数时间假设（SETH）给出了一个本质紧的下界作为该算法的补充。该下界关键依赖于 $\mathbf{M}_k$ 内一个大的置换子矩阵，其实现了先前相关下界中常用的“模式传播”，该方法由 Lokshtanov 等人（SODA 2011）开创。我们提出了一种新技术，用于在仅给定 $\mathbf{M}_k$ 渐近秩的黑盒下界时进行类似的模式传播；无需诸如 $\mathbf{M}_k$ 中存在大置换子矩阵等更强的结构洞察。在给定适当秩界的情况下，我们的技术给出了以路径宽度为参数的计数哈密顿回路（也包括模固定素数 $p$）的下界。为应用该技术，我们证明了 $\mathbf{M}_k$ 在有理数上的秩为 $4^k / \mathrm{poly}(k)$。我们还证明了对于任意素数 $p\neq 2$，$\mathbf{M}_k$ 在 $\mathbb{Z}_p$ 上的秩为 $\Omega(1.97^k)$，而对某些素数甚至为 $\Omega(2.15^k)$。由此我们得到：除非 SETH 不成立，否则对于任意 $\epsilon>0$，无法在 $O^*((6-\epsilon)^{\mathsf{pw}})$ 时间内计数哈密顿回路。该下界是紧的，因为 Bodlaender 等人（ICALP 2013）给出了 $O^*(6^{\mathsf{pw}})$ 时间算法。在 SETH 下，我们还得到模素数 $p\neq 2$ 的哈密顿回路计数无法在 $O^*(3.97^\mathsf{pw})$ 时间内完成，这表明模数会以复杂的方式影响复杂度。