更快计数完美匹配与哈密顿环

我们证明了，一个 $\operatorname{poly}(n)$ 位整数的对称 $2n\times 2n$ 矩阵的半阶乘（hafnian）（其计数了 $2n$ 顶点图的完美匹配数量）以及一个 $n$ 顶点有向图的哈密顿环数量可以在时间 $2^{n-\Omega(\sqrt{n})}$ 内计算，改进并推广了 Bj"orklund、Kaski 和 Williams（Algorithmica 2019）早先运行时间为 $2^{n - \Omega\left(\sqrt{n/\log \log n}\right)}$ 的算法。我们方法的一个关键工具是设计一种支持快速评估半阶乘和哈密顿环高阶导数的数据结构，该结构与 Bhargava、Ghosh、Guo、Kumar 和 Umans（FOCS 2022，JACM 2024）关于多元多点评估的新方法相集成。