在树宽有界图上命中禁戒诱导子图

对固定图 $H$，$H$-IS-Deletion 问题给定一个图 $G$，询问使得 $G\setminus S$ 不包含 $H$ 作为诱导子图的最小集合 $S \subseteq V(G)$ 的大小。受先前关于在树宽有界图上命中（拓扑）子式与子图工作的启发，我们致力于确定：对固定图 $H$，在指数时间假设（ETH）下，能使 $H$-IS-Deletion 在 $f_H(t) \cdot n^{O(1)}$ 时间内求解的最小函数 $f_H(t)$，其中 $t$ 与 $n$ 分别表示输入图的树宽与顶点数。我们证明了对每个含 $h \geq 3$ 个顶点的图 $H$ 有 $f_H(t) = 2^{O(t^{h-2})}$，且当 $H$ 为团或独立集时 $f_H(t) = 2^{O(t)}$。我们通过推广 Cygan 等人 [MFCS 2014] 针对子图版本的归约给出了一系列下界。特别地，我们证明当 $H$ 与团略有偏离时，函数 $f_H(t)$ 会发生急剧跃变：若 $H$ 由大小为 $h$ 的团删去一条边得到，则 $f_H(t) = 2^{\Theta(t^{h-2})}$。我们还证明当 $H=K_{h,h}$ 时 $f_H(t) = 2^{\Omega(t^{h})}$，该归约回答了 Mi. Pilipczuk [MFCS 2011] 关于子图版本中函数 $f_{C_4}(t)$ 的一个开放问题。受 Cygan 等人 [MFCS 2014] 启发，我们还考虑了该问题的彩色变体，其中 $G$ 的每个顶点被染以 $V(H)$ 中某种颜色，且我们只要求命中颜色匹配的 $H$ 的诱导副本。在此情形下，我们在 ETH 下确定了每个含 $h$ 个顶点的连通图 $H$ 对应的函数 $f_H(t)$：若 $h\leq 2$ 问题可在多项式时间内求解；若 $h\geq 3$，当 $H$ 为团时 $f_H(t) = 2^{\Theta(t)}$，否则 $f_H(t) = 2^{\Theta(t^{h-2})}$。