某些非简单多方块的 Hilbert-Poincaré 级数与 Gorenstein 性质

设 $\mathcal{P}$ 为没有 zig-zag walks 的闭合路径，这是一种非简单薄多方块。本文给出了 $K[\mathcal{P}]$ 的 $h$-多项式的组合解释，证明它是 $\mathcal{P}$ 的车多项式。Rinaldo 和 Romeo (2021) 已证明，如果 $\mathcal{P}$ 是简单薄多方块，则 $h$-多项式等于 $\mathcal{P}$ 的车多项式，并猜想该性质刻画了所有薄多方块。我们的主要证明策略是将附着于没有 zig-zag walks 的闭合路径 $\mathcal{P}$ 的坐标环的约化 Hilbert-Poincaré 级数，计算为若干方便的简单薄多方块的 Hilbert-Poincaré 级数的组合。作为推论，我们证明 Krull 维数等于 $\vert V(\mathcal{P})\vert -\mathrm{rank}\, \mathcal{P}$，且 $K[\mathcal{P}]$ 的正则度是 $\mathcal{P}$ 的车数。最后，我们刻画了 Gorenstein 素闭合路径，证明 $K[\mathcal{P}]$ 是 Gorenstein 当且仅当 $\mathcal{P}$ 由长度为三的极大块组成。