曲面上点 Hilbert 方案中重言丛的高阶对称幂

我们研究了与光滑拟射影曲面 $X$ 上的线丛 $L$ 相关联的重言丛 $L^{[n]}$ 在 $X$ 上 $n$ 个点的 Hilbert 方案 $X^{[n]}$ 上的一般对称幂 $S^k L^{[n]}$。令 $V_L$ 为定义在 $X^n$ 上的 $\mathfrak{S}_n$-向量丛，定义为外直和 $L \boxplus \cdots \boxplus L$。我们证明了对称幂 $S^k L^{[n]}$ 的 Bridgeland-King-Reid 变换 $\mathbf{\Phi}(S^k L^{[n]})$ 准同构于自然向量丛 $S^k V_L$ 上有限递减滤过的最后一项，该滤过由算子 $D^l_L$ 的核定义，这些算子在局部表现为对成对对角线的高阶限制。利用这一描述以及由直和分解诱导的 $(S^k V_L)^{\mathfrak{S}_n}$ 上的自然滤过，对于 $n =2$ 或 $k \leq 4$，我们在 Hilbert-Chow 态射的直接像 $\mu_*(S^k L^{[n]})$ 上获得了一个有限递减滤过 $\mathcal{W}^\bullet$，并完全控制了其分级层。作为这一结构性结果的结果，我们获得了一系列上同调推论，例如收敛到对称幂 $S^k L^{[n]}$ 上同调的谱序列；在 $L$ 和 $A$ 具有适当正性假设的情况下，关于扭曲了行列式的对称幂 $S^k L^{[n]} \otimes \mathcal{D}_A$ 上同调的有效消失定理；以及其 Euler-Poincar\'e 特征的通用公式。