刚性上同调中的直像与 L 函数

设 $k$ 为特征 $p>0$ 的完美域，$\mathcal{V}$ 为剩余域为 $k$ 且分式域 $K$ 特征为 0 的完备离散赋值环，$S$ 为有限型的分离 $k$-概形。当 $S$ 在 $k$ 上光滑时，我们部分证明了 Berthelot 关于结构层在真光滑态射 $f:X\to S$ 下的高阶直像的超收敛性猜想；当 $k$ 完美且 $\mathcal{V}$ 为 tame 分歧时，此类直像总是收敛的，不仅对结构层如此，对（几乎）所有收敛 $F$-等晶体亦如此。更一般地，当 $f$ 可提升到 $\mathcal{V}$ 上，或 $X$ 是 $S$ 上某射影空间中的相对完全交，并取任意超收敛等晶体为系数时，我们证明了这种超收敛性。随后，我们将这些结果应用于具有 Frobenius 结构的此类直像作为系数的 $L$-函数：我们导出了这些 $L$-函数的有理性或亚纯性（Dwork 猜想），并研究了它们的 $p$-进单位零点和极点（Katz 猜想）；一个具体情形涉及普通阿贝尔概形。引言中按章节给出了结果的更精确陈述。