逆首达问题中自由边界的高阶正则性

考虑逆首达问题：给定概率空间$(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$上的扩散过程$\{\frak{X}_{t}\}_{t\geqslant 0}$以及$[0,\infty)$上的生存概率函数$p$，求一边界$x=b(t)$，使得$p$为$\frak{X}$不跌破$b$的生存概率，即对每个$t\geqslant 0$，$p(t)= \mathbb{P}(\{\omega\in\Omega\;|\; {\frak{X}}_s(\omega) \geqslant b(s),\ \forall\, s\in(0,t)\})$。在前期工作中，我们分析了相关变分不等式的粘性解，并证明它们给出了逆问题唯一的上半连续（usc）解。我们进一步在$p$的附加假设下证明了边界$b$的弱正则性（连续性）。本文旨在研究逆首达问题解的高阶正则性性质。特别地，我们证明当$p$光滑且具有负斜率时，粘性解，从而逆问题唯一的usc解，也是光滑的。因此，粘性解给出了与逆首达问题相关的自由边界问题的唯一经典解。