具有指定寿命分布的终止布朗运动与违约模型

逆首达时间问题探询：对于布朗运动 $B$ 和非负随机变量 $\zeta$，是否存在一个时变屏障 $b$，使得 $\mathbb{P}\{B_s>b(s),0\leq s\leq t\}=\mathbb{P}\{\zeta>t\}$。我们研究该问题的一个“平滑”版本，并探询是否存在一个“屏障” $b$，使得 $\mathbb{E}[\exp(-\lambda\int_0^t\psi(B_s-b(s))\,ds)]=\mathbb{P}\{\zeta >t\}$，其中 $\lambda$ 是一个终止速率参数，$\psi:\mathbb{R}\to[0,1]$ 是一个非增函数。我们证明，如果 $\psi$ 适当光滑，函数 $t\mapsto \mathbb{P}\{\zeta>t\}$ 二次连续可微，且 $\zeta$ 的风险率满足条件 $0<-\frac{d\log\mathbb{P}\{\zeta>t\}}{dt}<\lambda$，则存在唯一的连续可微函数 $b$ 求解该平滑问题。我们展示了这一结果如何导出灵活的违约模型，使得计算或有债权的期望值成为可能。