欧拉方程的高阶 Mori-Zwanzig 模型

在近期一篇论文 \cite{CHSS06} 中，提出并分析了欧拉方程的一个无限长记忆模型（t-模型）。该模型可在 Mori-Zwanzig 形式体系中通过对记忆被积函数作 Taylor 展开时保留零阶项而导出。我们在此给出基于 Mori-Zwanzig 形式体系的一组欧拉方程模型。这些模型源于对出现在记忆被积函数中的另一算子——正交动力学演化算子——作 Taylor 展开。我们构造了零阶、一阶与二阶模型并作了数值模拟。欧拉方程中非线性的形式、所用投影算子的特殊性质以及任意投影算子的普遍性质，可被用来促进更高阶模型的递推计算。我们利用这些模型计算 Taylor-Green 涡问题的能量衰减率。结果与理论估计吻合良好。能量衰减似乎以活动的“波”形式组织，即快慢衰减交替出现。我们的结果印证了 \cite{CHSS06} 中的假设：用少数低波数模态对 3D 欧拉方程建模应包含长记忆。