层次化三体系统动力学中的高阶效应。II. 二阶和三十二极阶效应

我们在牛顿引力框架下分析层次化三体系统的长期演化，精度达到四极扰动参数的二阶，以及$\epsilon = a/A$（内外轨道半长轴之比）的六阶。我们将应用数学中的双时间尺度方法应用于内外轨道的拉格朗日行星方程，其中每个密切轨道元素被分解为一个在长扰动时间尺度上演化的轨道平均部分，以及一个在轨道时间尺度上振荡的无平均部分。两个轨道时间尺度的平均使用著名的长期近似进行计算。我们还纳入了时间与轨道相位之间关系的扰动修正。我们在质量、相对轨道倾角或偏心率方面不施加任何限制，仅要求四极参数和$\epsilon$均较小。结果得到了内外轨道平均元素的一组完整的长期演化方程。在扰动理论的一阶，我们明确获得了三十二极阶($\epsilon^6$)的贡献。在扰动理论的二阶（即四极扰动幅值的二次项），我们发现了标度为$\epsilon^{9/2}$（在早期工作中发现）、$\epsilon^{5}$、$\epsilon^{11/2}$和$\epsilon^{6}$的贡献。在一阶扰动和三十二极阶，两个平均半长轴不随时间变化（我们证明这在任意多极阶数下均成立）；但在二阶扰动阶，从$O(\epsilon^{5})$开始，它们不再是常数。然而我们验证了系统的总平均能量是守恒的，并论证这种行为与关于半长轴长期演化的经典定理并不矛盾。