等级三体系统动力学中的高阶效应：四极平方项

我们分析了等级三体系统的长期演化，考虑由遥远第三体在内双星上引起的四极扰动的二阶效应。牛顿三体运动方程按半长轴之比 a/A 的幂展开后，成为一对有效的单体积分开普勒运动方程，受到一系列多极扰动的扰动，依次为四极项 O[(a/A)^3]、八极项 O[(a/A)^4] 等。在描述瞬时轨道根数演化的拉格朗日行星方程中，二阶效应来源于先求得每个根数的一阶解（包含一个常数或慢变部分以及一个振荡扰动部分），再将其代回方程得到二阶解。在对两个轨道时标取平均以获得长期演化后，这些二阶四极（Q^2）项预期产生 (a/A)^6 量级的效果。然而我们发现，轨道平均实际上将这些二阶项增强了外轨道与内轨道周期之比，即 ~ (A/a)^{3/2}。对于低质量第三体的系统，Q^2 效应很小；但对于第三体质量相近或极重的系统，例如绕太阳质量恒星运行的日-木系统，或绕 10^6 M⊙ 大质量黑洞运行的 100 M⊙ 双星系统，Q^2 效应可完全抑制一阶解中内轨道从顺行到逆行再返回的翻转。这些结果与 Luo、Katz 和 Dong 使用“修正双平均”方法推导的结果完全一致。