基于适配坐标的线性控制系统端点映射高阶导数

我们研究控制线性系统的端点映射在任意选定轨迹邻域内的性质。特别地，我们希望计算该映射在给定方向上的 $k$ 阶导。先验地，它是依赖于所有不超过 $k$ 阶导数的一个相当复杂的常微分方程的解。我们证明存在一种适配于问题几何的特殊坐标系，它将描述端点映射不超过 $k$ 阶所有导数的常微分方程组变为一个控制仿射（非自治控制线性）系统的方程，其中求导方向起到新控制的作用。作为一个应用，我们研究该系统的能控性判据，得到次黎曼测地线的一阶与二阶必要最优性条件。特别地，对于异常极小元情形，我们可以将 Goh 条件解释为当 $k=2$ 时该控制仿射系统的不能控条件。我们提出一个假设：对于更高的 $k$，其不能控性对应于最近获得的高阶 Goh 条件类比 [Boarotto, Monti, Palmurella, 2020]、[Boarotto, Monti, a Socionovo, 2022]。