指数 L\'evy 模型 ATM 期权价格的高阶短时展开

在本工作中，针对一大类含或不含 Brownian 分量的指数 L\'{e}vy 模型，推导出了 ATM 期权价格的新型二阶近似。随后的结果揭示了连续分量的波动率与跳跃参数同到期日附近 ATM 期权价格行为之间的联系。在存在 Brownian 分量的情况下，时间 t 的二阶项形式为 $d_{2}\,t^{(3-Y)/2}$，其中 $d_{2}$ 仅取决于 $Y$（跳跃活动度）、$\sigma$（连续分量的波动率）以及一个控制“小”跳跃强度（无论其符号如何）的附加参数。这扩展了众所周知的一阶主导项为 $\sigma t^{1/2}/\sqrt{2\pi}$ 的结果。相比之下，在纯跳跃模型下，对 $Y$ 以及负向和正向小跳跃各自强度的依赖性已反映在主导项中，其形式为 $d_{1}t^{1/Y}$。二阶项被证明形式为 $\tilde{d}_{2} t$，因此其衰减阶数与 $Y$ 无关。本文还讨论了对应 Black-Scholes 隐含波动率的渐近行为。我们的方法具有足够的通用性，涵盖了满足上述性质且其 L\'{e}vy 密度在原点附近可被稳定密度良好近似的一大类 L\'{e}vy 过程。数值结果表明，一阶项通常表现较差，而二阶项能显著提高近似精度，特别是在缺乏 Brownian 分量的情况下。