基于有限元变分不等式的满足边界约束的高阶偏微分方程逼近
数值分析
2024-03-14 v2 数值分析
摘要
许多重要偏微分方程的解满足边界约束，但有限元或有限差分方法计算的逼近通常无法遵守相同条件。Chang 和 Nakshatrala 通过求解变分不等式而非线性变分问题，在有限元方法中强制满足此类边界。本文中，我们为该方法提供理论依据，包括高阶离散。我们证明了线性变分不等式的抽象最佳逼近结果，以及表明边界约束多项式提供与标准空间相当逼近能力的估计。对于任意函数的无约束逼近，存在一个在 范数上相当的有约束逼近。实践中，无法高效表示和处理整个边界约束多项式族，但对 Bernstein 基下多项式的系数施加边界约束可保证多项式满足这些约束。尽管我们的理论结果不保证该边界约束多项式子集的高精度，数值结果表明对光滑解具有最优精度阶，并在对流-扩散问题中清晰分辨特征，且均满足边界约束。
引用
@article{arxiv.2311.05880,
title = {High-order bounds-satisfying approximation of partial differential equations via finite element variational inequalities},
author = {Robert C. Kirby and Daniel Shapero},
journal= {arXiv preprint arXiv:2311.05880},
year = {2024}
}