针对 PDE 的新型弱对抗网络离散格式的最佳逼近结果与自然边界条件

本文对近期提出的用于高维偏微分方程逼近的弱对抗网络（WAN）方法进行理论分析。我们讨论了解的存在性与稳定性，以及逼近界。更确切地说，我们证明了离散解的存在性（以合适的弱意义理解），并为其给出了类似于 Cea 引理的拟最佳逼近估计——该结果常见于有限元方法中。我们还提出两种新的稳定化 WAN 公式，避免了直接归一化的需要。此外，我们分析了该方法在采用几何隐式表示的 Dirichlet 边界问题上的有效性。实现最佳逼近结果的关键要求是测试网络的空间满足称为 inf-sup 条件的特定条件，本质上要求测试网络集合相对于试探空间足够大。然而，方法的精度仅由试探网络的空间决定。我们还设计了用于静态 PDE 问题的伪时间 XNODE 神经网络类，较经典 DNN 网络获得了显著更快的收敛结果。