对抗自适应采样：统一 PINN 与最优传输以近似偏微分方程

求解偏微分方程（PDEs）是科学计算中的核心任务。近来，由于网格无关离散化的灵活性以及在高维问题上的潜力，用神经网络近似 PDE 受到越来越多的关注。一个基本的数值困难是：训练集中的随机样本给损失泛函的离散化引入了统计误差，该误差可能成为最终近似中的主导误差，从而掩盖了神经网络的建模能力。在本工作中，我们提出一种新的极小极大公式，同时优化由神经网络模型给出的近似解和由深度生成模型提供的训练集中的随机样本。核心思想是使用深度生成模型调整训练集中的随机样本，使得当近似 PDE 解对应的残差被最小化时能保持平滑的分布形态。这一思想通过隐式地将残差诱导分布与均匀分布之间的 Wasserstein 距离嵌入损失中得以实现，随后该距离与残差一同被最小化。近乎均匀的残差分布意味着对于任意归一化权函数其方差很小，从而使得损失泛函的蒙特卡洛近似误差在给定样本量下显著降低。本工作提出的对抗自适应采样（AAS）方法首次尝试将神经网络近似 PDE 的两个基本组成部分——最小化残差与寻求最优训练集——公式化为一个极小极大目标泛函。