Langevin Markov链和的高维正态近似

考虑著名的$\mathbb{R}^d$上的Langevin扩散 $$\mathrm{d} X_t = -\nabla U(X_t)\,\mathrm{d} t + \sqrt{2}\mathrm{d} B_t,$$ 及其Euler-Maruyama离散化 $$X_{k+1}=X_k-\eta \nabla U(X_k)+\sqrt{2\eta }\xi_{k+1},$$ 其中$\eta$为步长。在温和条件下，Langevin扩散唯一的平稳分布为$\pi(\mathrm{d} x)\propto \exp(-U(x))\mathrm{d} x$。本文主要研究归一化部分和 $$W_n = \eta^{1/2} n^{-1/2} \left( \sum_{i=0}^{n-1} X_i- \int_{\mathbb{R}^d} x\,\pi(\mathrm{d} x) \right).$$ 到目前为止，本工作在高维情境下提供首个维度显式收敛速率。我们的主要工具是一种 novel对1- Wasserstein距离$W_1(W,\gamma)$的上界，通过exchange对方法，其中$W$为任何感兴趣的随机向量，$\gamma$为$d$维标准正态随机向量。