蜂窝结构中的高对比度椭圆算子

我们研究自伴椭圆算子$\mathbb{A}_g= -\nabla \cdot \sigma_{g} \nabla$的能带结构,其中$\sigma_g$具有$\mathbb{R}^2$蜂窝镶嵌的对称性。我们聚焦于$\sigma_{g}$为实值标量的情况:$\sigma_{g}=1$于相同的、互不相交的“包含域”内(以蜂窝格点顶点为中心),而$\sigma_{g}=g \gg1$(高对比度)在包含域补集(基体)中。此类算子支配着例如光子晶体介质中的横电(TE)模式——由高介电常数包含域(半导体柱)嵌于均匀低对比度基体(空气)中构成,该构型用于诸多物理研究。我们基于关联能量泛函的单调性性质的方法,可推广至一类建模异质各向异性蜂窝介质的高对比度椭圆算子。我们的结果涉及色散面的全局行为,以及出现在最低两个能带及谱中任意高位能带中的锥形交叉(Dirac点)的存在性。Dirac点是基础与应用物理中重要现象的源头,例如石墨烯及其人工类比、拓扑绝缘体。关键假设为Dirac(Fermi)速度$v_D(g)$的非零性(经数值验证)以及谱隔离条件(已在多种构型中解析验证)。我们推导了Dirac点本征对与$v_D(g)$关于$g^{-1}$任意阶的渐近展开及误差界。本研究阐明了$\mathbb{A}_g$的高对比度行为与Schroedinger算子相应强束缚机制之间的差异。