曲面度规的 Hessian 可化性

称对曲面 $M$ 上的对称二次型 $g$ 为局部 Hessian 可化的，如果对每个 $p\in M$ 都有一个开邻域 $U$，使得在 $U$ 上存在一个局部坐标图 $(x^1,x^2):U\to\mathbb{R}^2$ 和一个函数 $f:U\to\mathbb{R}$，使得在 $U$ 上有 $$g = \frac{\partial^2 f}{\partial x^i\partial x^j}\,\mathrm{d} x^i\circ\mathrm{d} x^j.$$ 在本文中，我展示当 $g$ 为非退化且光滑时，总是光滑地局部 Hessian 可化。