关于带对合的简单环的 Herstein 问题

本文旨在尝试回答 Herstein 关于带对合的简单环的问题，即：如果 $R$ 是一个具有第一类对合的简单环，且 $dim_{Z(R)}R > 4$ 以及 $\Char(Z(R))\neq 2$，那么 $S^2=R$ 是否成立？我们将看到，在这样的环 $R$ 中，$R=S^3$。我们将提出两个可能的判据，每个判据都展示了 $R=S^2$ 何时成立。第一个判据：存在 $x,y \in S$ 使得 $xy-yx \neq 0$ 且 $xSy \subseteq S^2$ $\Leftrightarrow$ $S^2=R$。第二个判据：存在 $x,y \in S$ 使得 $xy+yx \neq 0$ 且 $xKy \subseteq S^2$ $\Leftrightarrow$ $S^2=R$。实际上，这些结果在不限制 $R$ 在 $Z(R)$ 上的维数的情况下也是成立的。在特征不等于 2 的域上的矩阵（具有转置对合和辛对合）这一特殊情况下，不难找到例如 $x,y \in S$ 使得 $xy-yx \neq 0$ 且对于每个 $s \in S$，$xsy \in S^2$。因此，这证明了 Herstein 关于矩阵情形答案已知为肯定的论断。类似的结果也可在 $K^6$、$K^4$、$K+KSK$、$KS+K^2$、$SKS$ 和 $S^2K$ 中找到。