经典不变量环的自然嵌入何时为纯的？

考虑无限域上的多项式环 $S$ 被约化线性代数群 $G$ 线性作用；关键例子包括一般线性群、辛群、正交群和特殊线性群，其经典表示如Weyl书中所述：对于一般线性群，考虑标准表示及其对偶表示的若干拷贝的直和；在其他情形取标准表示的若干拷贝。相应情形下的不变量环分别为行列式环、交错矩阵Pfaffian定义的环、对称行列式环，以及Grassmannian的Plücker坐标环；这些即标题所称的经典不变量环，其中 $S^G\subseteq S$ 为自然嵌入。在特征零的域上，约化群是线性约化的，从而不变量环 $S^G$ 是 $S$ 的纯子环，等价地，$S^G$ 作为 $S^G$-模是 $S$ 的直和项。在正特征域上，约化群通常不再是线性约化的。我们在正特征情形下，精确确定了包含 $S^G\subseteq S$ 何时为纯的。结果表明，若 $S^G\subseteq S$ 是纯的，则要么不变量环 $S^G$ 是正则的，要么群 $G$ 是线性约化的。