Hermite 迹多项式与 Hermitian 布朗运动的混沌分解

对于非零参数 $q$，我们定义 Hermite 迹多项式，其为按置换索引的多元多项式。我们证明它们的一些组合性质，如展开式与乘积公式。由这些迹多项式确定的线性泛函在 $q = \frac{1}{N}$（$N$ 为非零整数）时是一个态。对于这样的 $q$，不同次数的 Hermite 迹多项式正交。乘积公式可扩展到关于该态的闭包。该态可识别为由 $N \times N$ Hermitian 布朗运动诱导的期望。Hermite 迹多项式对此布朗运动而言是鞅，而闭包中的元素可解释为关于它的随机积分。利用代数上的分次，我们证明此类积分的若干混沌分解，并分析相应的产生与湮灭算子。在单变量纯迹多项式情形，迹 Hermite 多项式可识别为矩阵变元 Hermite 多项式。