态、迹与矩多项式的正定性及其在量子信息中的应用

态、迹与矩多项式是关于多个算子或随机变量及其乘积上的正泛函（态、迹或期望）的多项式表达式。虽然这些概念，特别是它们的正定性与优化，源于量子信息理论中的问题，但它们自然地归属于多变量算子理论的范畴。本综述以简明且统一的方式介绍了态、迹与矩多项式，并强调了它们的相似性与差异性。其核心焦点是它们的正定性与优化。给出了无约束和受约束正定性的平方和证书（Positivstellens\"atze），并讨论了它们与其交换和无自由非交换类似物的平行关系。它们被用于设计一个收敛的半定规划层次结构，以优化态、迹与矩多项式。最后，回到所推导理论背后的原始动机，概述了其在量子信息理论中的多种应用。