可继承的 Hsu-Robbins-Erdős 大数定律

我们证明了：每个实值随机变量序列 $f_1, f_2, \cdots$ 只要满足 $\sup_{n \in \N} \E (f_n^2) < \infty$，就必含有一个子序列 $f_{k_1}, f_{k_2}, \cdots$ 在 \textsc{Ces\`aro} 均值意义下完全收敛于某个 $\,f_\infty \in \mathbb{L}^2$，即 $\sum_{N \in \N} \, \P \left( \bigg| \frac{1}{N} \sum_{n=1}^N f_{k_n} - f_\infty \bigg| > \eps \right)< \infty\,, \quad \forall ~ \eps > 0\,; 且该子序列在更深层次上是可继承的，即沿所有进一步的子列亦成立。我们还识别出一种略弱于$\mathbb{L}^2$ 范数有界条件的充要条件，此条件不仅足以保证上述在 \textsc{Ces\`aro} 均值意义下的可继承完全收敛，而且也是必要条件。