半群上 Green 关系相关联偏序集的高度

给定半群 $S$，对于 $S$ 上的每个 Green 关系 $\mathcal{K}\in\{\mathcal{L},\mathcal{R},\mathcal{J},\mathcal{H}\}$，$S$ 的 $\mathcal{K}$-高度，记为 $H_{\mathcal{K}}(S)$，是 $S$ 的 $\mathcal{K}$-类偏序集的高度。更确切地说，如果 $S$ 的 $\mathcal{K}$-类链的长度存在有限上界，则 $H_{\mathcal{K}}(S)$ 定义为这种链的最大长度；否则，我们称 $S$ 具有无限 $\mathcal{K}$-高度。我们讨论了这四个 $\mathcal{K}$-高度之间的关系。主要结果涉及稳定半群类，该类包含所有有限半群。特别地，我们证明了一个稳定半群具有有限 $\mathcal{L}$-高度当且仅当它具有有限 $\mathcal{R}$-高度当且仅当它具有有限 $\mathcal{J}$-高度。事实上，对于稳定半群 $S$，如果 $H_{\mathcal{L}}(S)=n$，则 $H_{\mathcal{R}}(S)\leq2^n-1$ 且 $H_{\mathcal{J}}(S)\leq2^n-1$，并且我们展示了一族例子来证明这些界是紧的。此外，我们证明如果 $2\leq H_{\mathcal{L}}(S)<\infty$ 且 $2\leq H_{\mathcal{R}}(S)<\infty$，则 $H_{\mathcal{J}}(S)\leq H_{\mathcal{L}}(S)+H_{\mathcal{R}}(S)-2$。我们还证明了对于每个 $n\in\mathbb{N}$，存在一个半群 $S$ 使得 $H_{\mathcal{L}}(S)=H_{\mathcal{R}}(S)=2^n+n-3$ 且 $H_{\mathcal{J}}(S)=2^{n+1}-4$。作为对比，我们证明了对于正则半群，$\mathcal{L}$-、$\mathcal{R}$- 和 $\mathcal{H}$-高度彼此相等，并且大于或等于 $\mathcal{J}$-高度。此外，在稳定正则半群中，$\mathcal{L}$-、$\mathcal{R}$-、$\mathcal{H}$- 和 $\mathcal{J}$-高度均相等。