界面生长中的高度分布：平均过程的作用

为定量刻画高度分布（HDs），人们使用其首阶中心矩（$m_n$）或累积量（$\kappa_n$）的无量纲比值，尤其是偏度 $S$ 与峰度 $K$，其准确估计要求在给定时刻对平移不变界面的高度剖面的所有 $L^d$ 点以及 $N$ 个独立样本进行平均。一种方法是先对每个样本计算 $m_n(t)$ [或 $\kappa_n(t)$]，再对 $N$ 个界面进行平均，仅在最后算出 $S$ 和 $K$。另一种方法是对每个界面直接计算比值，再对 $N$ 个值取平均。然而，正如一些先前工作已观察到并在此通过属于 EW 与 KPZ 类的若干离散生长模型在尺寸 $L=const.$ 与 $L \sim t$ 的 1D 和 2D 基底上的大量模拟所清晰展示的，从这些“界面统计”估计的生长区 HDs 的 $S$ 和 $K$ 表现出强烈的有限尺寸与有限时间效应。重要的是，我证明使用“单点统计”，即对全部 $N L^d$ 个高度一次性计算 $m_n(t)$ [或 $\kappa_n(t)$]，这些修正变得非常微弱。但我发现，该“单点”方法在揭示平均高度 $\bar{h}$ 为涨落变量的系统稳态区（SSR）中 HDs 的普适性时失效。事实上，如本文所证，在此区中单点高度演化为 $h(t) = \bar{h}(t) + s_{\lambda} A^{1/2} L^{\alpha} \zeta + \cdots$——其中 $P(\zeta)$ 为底层 SSR HD——而 $\bar{h}$ 中的涨落给出 $S_{1pt} \sim t^{-1/2}$ 与 $K_{1pt} \sim t^{-1}$。不过，通过分析 $P(h-\bar{h})$，可准确确定 $P(\zeta)$ 的累积量。