Heegaard 分裂、虚 Haken 猜想与 Property tau
几何拓扑
2007-05-23 v5 微分几何
群论
谱理论
摘要
我们考察 3-流形理论中的三个关键猜想:虚 Haken 猜想、正虚 b_1 猜想与虚纤维猜想。我们探讨这些猜想与下列看似无关领域的相互作用:Laplacian 的特征值,以及 Heegaard 分裂。我们首先给出有限呈示群具有无限交换化有限指数子群的一个充要条件,以谱几何的语言表述。对负曲率的 3-流形,我们证明这等价于关于广义 Heegaard 分裂的一个陈述。我们还提出一个关于有限覆盖下 Heegaard 亏格行为的猜想,该猜想与 Lubotzky 和 Sarnak 关于 Property tau 的猜想一起,将推出双曲 3-流形的虚 Haken 猜想。在此过程中,我们证明了若干关于 3-流形的出人意料的定理。例如,我们证明对任意以伪-Anosov 单调映射为单值的、闭的、纤维化于圆上的 3-流形,任意与纤维对偶且次数足够大的循环覆盖具有不可约、弱可约的 Heegaard 分裂。此外,我们建立了算术双曲 3-流形的同余覆盖的 Heegaard 亏格关于体积线性变化的上界与下界。
引用
@article{arxiv.math/0205327,
title = {Heegaard splittings, the virtually Haken conjecture and Property tau},
author = {Marc Lackenby},
journal= {arXiv preprint arXiv:math/0205327},
year = {2007}
}
备注
52 pages, 9 figures; version 5: minor changes from version 4; to appear in Inventiones Mathematicae