通过保簇聚类寻找重命中者

在turnstile $\ell_p$ $\varepsilon$-重命中者问题中，维护一个高维向量 $x\in\mathbb{R}^n$，接受 $\texttt{update}(i,\Delta)$ 操作使得 $x_i\leftarrow x_i + \Delta$，其中 $i\in[n]$, $\Delta\in\mathbb{R}$。收到查询时，目标是报告一个小列表 $L\subset[n]$, $|L| = O(1/\varepsilon^p)$，包含每个“重命中者” $i\in[n]$ 满足 $|x_i| \ge \varepsilon \|x_{\overline{1/\varepsilon^p}}\|_p$，其中 $x_{\overline{k}}$ 表示将 $x$ 中按幅度最大的 $k$ 个分量置零后得到的向量。对任意 $p\in(0,2]$，CountSketch 使用 $O(\varepsilon^{-p}\log n)$ 字空间、 $O(\log n)$ 更新时间、 $O(n\log n)$ 查询时间输出 $L$，且任意查询后输出以高概率(whp) $1 - 1/poly(n)$ 正确。不幸的是查询时间非常慢。为此，文献[CM05]针对严格turnstile模型下 $p=1$ 提出了一种whp正确的算法，达到次优空间 $O(\varepsilon^{-1}\log^2 n)$、更差的更新时间 $O(\log^2 n)$，但好得多的查询时间 $O(\varepsilon^{-1}poly(\log n))$。我们表明这种空间与更新时间 versus 查询时间的权衡是不必要的。我们提供一种新算法 ExpanderSketch，在最一般turnstile模型中达到最优 $O(\varepsilon^{-p}\log n)$ 空间、 $O(\log n)$ 更新时间、以及快速 $O(\varepsilon^{-p}poly(\log n))$ 查询时间，且whp正确。我们的主要创新是将重命中者高效归约到一个聚类问题，其中每个重命中者被编码为一个更大图中某种形式的含噪谱簇，目标是识别每个簇。由于必须找到每个重命中者，正确性要求找到每个簇。然后我们开发了“保簇聚类”算法，将图划分为簇而不破坏任何原始簇。