滑动窗口上近乎最优的不同元素与重命中元素识别

我们研究滑动窗口模型中的不同元素与 $\ell_p$-重命中元素问题，其中数据流中仅最近的 $n$ 个元素构成底层集合。我们首先引入可组合直方图，这是对指数直方图（Datar 等人，SODA 2002）与平滑直方图（Braverman 和 Ostrovsky，FOCS 2007）的一个简单改进，可能引起独立兴趣。然后我们表明，可组合直方图结合现有技术的谨慎组合以跟踪少数特定项的身份或频率，足以获得在 $n$ 与 $\epsilon$ 两方面都近乎最优的不同元素与 $\ell_p$-重命中元素算法。应用我们新的可组合直方图框架，我们提供了一种算法，在滑动窗口模型中输出不同元素个数的 $(1+\epsilon)$-近似，并使用 $\mathcal{O}\left(\frac{1}{\epsilon^2}\log n\log\frac{1}{\epsilon}\log\log n+\frac{1}{\epsilon}\log^2 n\right)$ 位空间。对于 $\ell_p$-重命中元素，我们提供使用空间 $\mathcal{O}\left(\frac{1}{\epsilon^p}\log^3 n\left(\log\log n+\log\frac{1}{\epsilon}\right)\right)$ 的算法（$0<p\le 2$），改进了已知最好的 $\ell_2$-重命中元素算法（Braverman 等人，COCOON 2014），其后者的空间复杂度为 $\mathcal{O}\left(\frac{1}{\epsilon^4}\log^3 n\right)$。我们还展示了不同元素的下界 $\Omega\left(\frac{1}{\epsilon}\log^2 n+\frac{1}{\epsilon^2}\log n\right)$ 与 $\ell_p$-重命中元素的下界 $\Omega\left(\frac{1}{\epsilon^p}\log^2 n\right)$。