低 Ricci 曲率下余切模上 1-形式的流：泛函不等式、谱理论与热核

我们研究 $\mathrm{RCD}(K,\infty)$ 空间 $(M,\mathsf{d},\mathfrak{m})$（$K\in\boldsymbol{\mathrm{R}}$）上余切模 $L^2(T^*M)$ 的典范热流 $(\mathsf{H}_t)_{t\geq 0}$。我们证明了 Hess-Schrader-Uhlenbrock 不等式，并且若 $(M,\mathsf{d},\mathfrak{m})$ 同时也是 $\mathrm{RCD}^*(K,N)$ 空间（$N\in(1,\infty)$），则证明了 $(\mathsf{H}_t)_{t\geq 0}$ 相对于 $L^2(M)$ 上热流 $(\mathsf{P}_t)_{t\geq 0}$ 的 Bakry-Ledoux 不等式。这些估计的变体版本亦被讨论。结合对 1-形式的对数 Sobolev 不等式的研究，前述不等式给出了 $(\mathsf{H}_t)_{t\geq 0}$ 的各种 $L^p$ 性质（$p\in [1,\infty]$）。随后我们建立了其生成元、Hodge Laplacian $\smash{\vec{\Delta}}$、负函数 Laplacian $-\Delta$ 与 Schrödinger 算子 $-\Delta+K$ 的谱之间的显式包含关系。在 $\mathrm{RCD}^*(K,N)$ 情形下，我们证明了若 $M$ 紧致则 $\smash{\vec{\Delta}^{-1}}$ 的紧性，以及在体积增长条件下 $\smash{\vec{\Delta}}$ 的 $L^p$-谱与 $p \in [1,\infty]$ 无关。最后我们给出 $(\mathsf{H}_t)_{t\geq 0}$ 热核的恰当解释。我们证明了其在无任何局部紧性或加倍条件下普遍存在的存在性，并推导了其基本估计与性质。