Hauptmoduln 与偶阶模仿函数在模 2 下的性质

椭圆模 $j$ 函数的傅里叶系数 $c_1(n)$ 在 $n \not\equiv 7 \pmod{8}$ 时始终为偶数。相比之下，对于 $n \equiv 7 \pmod{8}$ 的情形， conjecture 认为约有一半的系数取奇数值。本文首先详细观察 $c_1(8n-1)$ 为奇数的情形，证明这些系数的奇偶性与第二阶模仿函数 $\mu_2(q)$ 的系数 $c_{\mu_2}(n)$ 相同。进一步我们证明，这一现象同样适用于多个 Hauptmoduln 之间以及 Hauptmoduln 与偶阶模仿函数之间。